Rochmany's Blog: Teori Matematika yang Ajaib

Tuesday, September 24, 2013

Teori Matematika yang Ajaib

Selama saya menjelajahi dunia Matematika, banyak hal-hal ajaib. Yang saya maksud ajaib adalah hal-hal yang aneh, mencenggangkan, mengherankan, dianggap mustahil bahkan bertentangan dengan akal sehat. OK tanpa banyak basa-basi ini 10 hal ajaib di Matematika

10. 0,9999999…. = 1

Kalian pasti berpikir bahwa 0,9999999…. dan 1 adalah dua bilangan yang berbeda. Tidak-tidak keduanya merupakan bilangan yang sama

Penjelasan:

Salah satu alasan mengapa desimal tak terhingga merupakan perluasan yang perlu dari desimal terhingga adalah untuk merepresentasikan pecahan. Dengan menggunakan pembagian panjang, pembagian bilangan bulat yang sederhana seperti 1⁄3 akan menghasilkan desimal berulang 0,333…. Desimal berulang ini mempunyai digit yang berulang tanpa akhir. Desimal ini memberikan bukti cepat 0,999… = 1. Perkalian 3 kali 3 menghasilkan 9 pada setiap digit, sehingga 3 × 0,333… sama dengan 0,999…. Dan 3 × 1⁄3 sama dengan 1, sehingga 0,999… = 1.[1]

Bentuk pembuktian lainya adalah perkalian 1/9 = 0.111… dengan 9.

dan

9. Identitas Euler

$e^{i\pi}=-1$

Jika kalian lihat nilai e=2,71828182845904523536… , π = 3,14159265358979323846 dan i=√-1, sepertinya mustahil e pangkat iπ hasilnya -1

Pembuktian:

Nah, sekarang saya akan membuktikan persamaan tersebut bener. ambil $z=cos\theta+isin\theta$ persamaan di bilangan complex lalu kita turunin diperoleh $\frac{dz}{d\theta}=-sin\theta+icos\theta$ Padahal $iz=icos\theta-sin\theta=-sin\theta+icos\theta$ . Ingat $i^2=-1$ . Jadi, $\frac{dz}{d\theta}=iz$ , $\int\frac{dz}{z}=\int id\theta$ , $ln z=i \theta+C$ ,. $z=e^{i\theta+C}$ Sekarang kita nyari nilai konstanta C karena z=cos\theta+isin\theta nilainya satu untuk \theta = 0, maka nilai C adalah nol. Maka, persamaan kita menjadi $z=cos\theta+isin\theta=e^{i\theta}$ . Yang disebut dengan persamaan euler. Nah, sekarang kita ambil nilai\theta=\pi. Diproleh $-1=cos\pi+isin\pi=e^{i\pi}$ = $-1=e^{i\pi}$ . Akhirnya kita dapat $e^{i\pi}+1=0$

8. i pangkat i

Kalian tahu bahwa $i=\sqrt{-1}$ adalah bilangan imajiner, tapi apakah kalian tahu i pangkat i hasilnya adalah bilangan real $i^{i}=0.20788\ldots$ .

Penjelasan:

Untuk mengetahuinya kita menggunakan persamaan euler $e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$ masukkan $x=\pi/2$ diperoleh $e^{i\pi/2}=\cos(\pi/2)+i\sin(\pi/2)$ = $e^{i\pi/2}=0+i1$ = $e^{i\pi/2}=i$ Lalu pangkatkan kedua sisi dengan i diperoleh $(e^{i\pi/2})^{i}=i^{i}$ karena sifat perpangkatan $(a^{b})^{c}=a^{bc}$ dan $-1=ii$ diperoleh $e^{-\pi/2}=i^{i}$ = $\approx0.207879576350761908546955...$ dan i^i adalah bilangan transendental

7. Jumlah sudut Segitiga tidak selalu 180°

Di Sekolah kalian pasti diajarkan bahwa jumlah sudut segitiga adalah 180°. Sebenarnya jumlah sudut segitiga tidak selalu 180°. Jumlah sudut segitiga tergantung pada bidang apa segitiga itu digambar. Jika segitiga itu digambar di bidang datar (Geometri Euclid) maka jumlah sudutnya selalu 180°. Akan tetapi jika segitiga tersebut digambar di bidang cembung /cekung (Geometri Non-Euclid) maka jumlah sudutnya tidak lagi 180°. Cobalah menggambar segitiga pada bola, lalu hitung sudutnya. Apa jumlahnya masih 180°?

6. Himpunan tak-hingga

Sesuai namanya himpunan tak hingga adalah himpunan yang mempunyai tak-hingga elemen , bagaimana mengetahui sutu himpunan adalah tak-hingga atau bukan?

Definsi: Himpunan X dikatakan tak hingga jika terdapat X himpunan bagian yang sebenarnya (proper subset) S\subset X, sedemikian hingga X dan S mempunyai elemen yang sama banyaknya $\left|S\right|=\left|X\right|$

Contoh: $I=\left(0,1\right)\subset\mathbb{R}$ (himpunan bilangan real), tentunya agan tahu bahwa interval terbuka dari nol sampai satu bagian dari himpunan bilangan real akan tetapi apakah kalian tahu bahwa I mempunyai elemen yang sama banyaknya dengan $\left|I\right|=\left|\mathbb{R}\right|$ ?

5. Teorema Fundamental Kalkulus

Turunan dan Integral adalah dua hal yang amat-amat berbeda. Akan tetapi Teorema Fundamental Kalkulus dapat menghubungkan kedua hal yang berbeda tersebut dengan amat cantiknya. Menurut Teorema Fundamental kalkulus: Integral merupakan anti turunan.

4. Grigori Perelman

Yup ini nama orang, nama matematikawan Rusia. Kenapa ane masukkan kedaftar ? Karena dia menolak 1 juta US Dollar atas jasanya memecahkan dugaan Poincare. Hanya orang gila atau luar biasa jenius yang menolak uang sebesar itu.

Grisha Perelman, adalah seorang matematikawan Rusia berdarah Yahudi, yang membuat kontribusi terkenal kepada Geometri Riemannian dan topologi geometri. Khususnya, dia tampaknya telah membuktikan geometrisasi konjektur Thurston. Bila demikian, ini juga menyelesaikan konjektur Poincaré yang terkenal, yang dikeluarkan pada 1904 dan dianggap sebagai masalah terbuka yang penting dan sulit dalam matematika.

Pada Agustus 2006, Perelman dianugrahkan Fields Medal, yang dianggap luas sebagai penghargaan tertinggi yang dapat diterima bagi matematikawan. Namun dia menolak menerima penghargaan tersebut dan juga menolak hadir pada kongres tersebut.

3. Jarum Buffon

Misalkan kalian berdiri di lantai dengan garis-garis paralel, yang jarak antar garisnya sama misalkan saja jarak antar garis 5 cm lalu kita menjatuhkan jarum sepanjang 5 cm, Nah pertanyaannya berapa peluang jarum tersebut jatuh diantar dua garis?

Jawabnnya $\frac{2}{\pi}$ , Mmm… nilai yang mengejutkan, ya kan?

2 . Monty Hall Problem

Masih berhubungan dengan teori peluang.

Bayangkan kamu mengikuti kuis. Ada tiga pintu di sana. Sebut saja pintu 1, pintu 2 dan pintu 3. Salah satu berisi mobil dan dua lainnya berisi kambing. Kamu disuruh memilih salah satu dari ketiga pintu dan akan mendapatkan benda di balik pintu yang kamu pilih. Tentu saja kamu tidak tahu di pintu berapa, mobil itu berada. Misalkan saja kamu memilih pintu 1 kemudian si pembawa acara bernama Monty membuka salah satu pintu bisa pintu 2 atau 3 dan ternyata berisi kambing. Lalu si Monty bertanya ke kamu, "Apa kamu mau mengganti pilihan?”. Nah, sekarang pertanyaan untuk kalian:

1. Berapa peluang kamu mendapatkan mobil jika tetap memilih pintu 1?

2. Berapa peluang kamu mendapatkan mobil jika mengganti pilihan?

Banyak orang termasuk para akademisi berpikiran peluangnya 1/2, mau kamu mengganti pilihan atau tidak tetap peluangnya 1/2. Dengan alasan mau apapun pintu yang kamu pilih tetap saja pintu tersebut hanya ada 2 kemungkinan berisi mobil atau kambing. Padahal sebenarnya peluangmu hanya 1/3 jika kamu tetap memilih pintu 1 dan peluang kamu akan naik menjadi 2/3, jika kamu mengannti pilihan.

1. Paradoks Banach Tarski

Tentu saja yang paling ajaib di matematika adalah Paradoks Banachh Tarski. Di dunia matematika kita bisa memotong apel menjadi beberapa potong lalu kita bisa menyusun potongan2 tersebut menjadi 2 apel yang identik dengan apel sebelumnya.

Penjelasan:

Perlu dipahami bahwa bola padat yang dimaksudkan di sini adalah bola padat menurut pemahaman matematika yaitu himpunan titik-titik tak hingga yang didefinisikan sebagai

dengan r = jari-jari bola.

Teori yang ditemukan oleh Stefan Banach dan Alfred Tarski ini melibatkan beberapa teori sebelumnya yaitu Translasi, rotasi, isometri, kongruen, dan aksioma pilihan.

Paradox Banach-Tarski (PBT) dijelaskan dalam dua versi yaitu versi lemah dan versi kuat. Kedua versi ini memperlihatkan keanehan, dan keajaiban yang berbeda.

Versi Lemah

Proses PBT yang dijelaskan dalam versi ini mempertahankan: Bentuk, Ukuran, Kepadatan, dan Volume. Bentuk, artinya setelah proses PBT berlangsung bola padat yang dihasilkan sama seperti bola padat sebelumnya, tidak menjadi lonjong, gepeng atau setengah bola. Ukuran, artinya jika bola padat yang dipecah berjari-jari r, maka hasil PBT akan tetap berjari-jari r juga. Kepadatan, artinya untuk mendapatkan dua atau lebih bola padat yang memiliki ukuran dan bentuk yang sama dari susunan pecahan sebuah bola padat, tidak dilakukan peregangan, sehingga kepadatannya tetap. Volume, artinya tidak dilakukan penambahan material kepingan dari luar kepingan sebuah bola padat sebelumnya.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan analogi berikut :